Calculos simbolicos en Python

 

Cálculo simbólico con Sympy

Sympy permite hacer operaciones analíticas o con símbolos en lugar de con valores numéricos Al igual que en Python existen varios tipos de datos numéricos como enteros (int), decimales (float) o booleanos (bool:True, False, etc.), Sympy posee tres tipos de datos propios: Real, Rational e Integer, es decir, números reales, racionales y enteros. Estoquiere decir que Rational(1,2) representa 1/2, Rational(5,2) a 5/2, etc. en lugar de 0.5 o 2.5.

>>> import sympy as sp
>>> a = sp.Rational(1,2)

>>> a
1/2

>>> a*2
1

>>> sp.Rational(2)**50/sp.Rational(10)**50
1/88817841970012523233890533447265625

También existen algunas constantes especiales, como el número e

o π

, si embargo éstos se tratan con símbolos y no tienen un valor númerico determinado. Eso quiere decir que no se puede obtener un valor numérico de una operación usando el pi de Sympy, como (1+pi), como lo haríamos con el de Numpy, que es numérico:

>>> sp.pi**2
pi**2

>>> sp.pi.evalf()
3.14159265358979

>>> (sp.pi + sp.exp(1)).evalf()
5.85987448204884 

como se ve, sin embargo, se puede usar el método evalf() para evaluar una expresión para tener un valor en punto flotante (float).

Para hacer operaciones simbólicas hay que definir explícitamente los símbolos que vamos a usar, que serán en general las variables y otros elementos de nuestras ecuaciones:

>>> x = sp.Symbol('x')
>>> y = sp.Symbol('y')

Y ahora ya podemos manipularlos como queramos:

>>> x+y+x-y
2*x

>>> (x+y)**2
(x + y)**2

>>> ((x+y)**2).expand()
2*x*y + x**2 + y**2

Es posible hacer una substitución de variables usando subs(viejo, nuevo):

>>> ((x+y)**2).subs(x, 1)
(1 + y)**2

>>> ((x+y)**2).subs(x, y)
4*y**2

Operaciones algebraicas

Podemos usar apart(expr, x) para hacer una descomposición parcial de fracciones:

>>>  1/( (x+2)*(x+1) )
       1
───────────────
(2 + x)*(1 + x)

>>>  sp.apart(1/( (x+2)*(x+1) ), x)
  1          1
─────── - ────────
1 + x      2 + x

>>>  (x+1)/(x-1)
-(1 + x)
─────────
 1 - x

>>>  sp.apart((x+1)/(x-1), x)
      2
1 - ──────
    1 - x

Cálculo de límites

Sympy puede calcular límites usando la función limit() con la siguiente sintaxis: limit(función, variable, punto), lo que calcularía el limite de f(x)

cuando variable -> punto:

.. code:: ipython3

x = sp.Symbol("x")

sp.limit(sin(x)/x, x, 0)
1

es posible incluso usar límites infinitos:

>>> sp.limit(x, x, oo)
oo

>>> sp.limit(1/x, x, oo)
0

>>> sp.limit(x**x, x, 0)
1

Cálculo de derivadas

La función de Sympy para calcular la derivada de cualquier función es diff(func, var). Veamos algunos ejemplos:

>>> x = sp.Symbol('x')
>>> diff(sp.sin(x), x)
cos(x)
>>> diff(sp.sin(2*x), x)
2*cos(2*x)

>>> diff(sp.tan(x), x)
1 + tan(x)**2

Se puede comprobar que es correcto calculando el límite:

>>> dx = sp.Symbol('dx')
>>> sp.limit( (tan(x+dx)-tan(x) )/dx, dx, 0)
1 + tan(x)**2

También se pueden calcular derivadas de orden superior indicando el orden de la derivada como un tercer parámetro opcional de la función diff():

>>> sp.diff(sin(2*x), x, 1)         # Derivada de orden 1
2*cos(2*x)

>>> sp.diff(sin(2*x), x, 2)         # Derivada de orden 2
-4*sin(2*x)

>>> sp.diff(sin(2*x), x, 3)         # Derivada de orden 3
-8*cos(2*x)